Составление и расчёт характеристического уравнения схемы.

Рассмотрим схему на рисунке 1:

Рисунок 1 - Схема

Получить характеристическое уравнение схемы можно определив выражение для её комплексного сопротивления приравняв его (выражение) к нулю и заменив в нем (в выражении)на p.

Найдем комплексное сопротивление схемы относительно ветви с источником E заменив на p в сопротивлениях конденсатора и катушки. Источник E заменим перемычкой так как его сопротивление равно нулю. Схема на рисунке 1 преобразована для более удобного определения характеристического уравнения:

Рисунок 2 - Схема 2

Заменим последовательное соединение элементов R2 и pL (с одноименными сопротивлениями) одним элементом Zlr2(p):

Рисунок 3 - Схема 3

Сопротивление Zlr2(p) находиться по формуле:

Заменим параллельное соединение Zlr2(p) и 1/pC одним элементом:

Рисунок 4 - Схема 4

Zlсr2(p) находиться по формуле:

Заменим последовательное соединение оставшихся двух элементов одним элементом:

Рисунок 5 - Схема 5

Zэ(p) - сопротивление цепи относительно точек A и B (рисунок 1) которое находиться по формуле:

Приравняв это выражение к нулю получим характеристическое уравнение:

Это уравнение можно привести к более удобному виду для нахождения его корней. Поделим числитель и знаменатель дроби на 1/pC:

Умножим обе части уравнения на знаменатель дроби:

Раскроем скобки в первом слагаемом:

Выполним последнее преобразование для приведения уравнения к виду удобному для нахождения его корней:

Это квадратное уравнение и его корни можно найти через дискриминант. Характеристическое уравнение можно составить также определив сопротивление цепи относительно какой либо другой ветви, для примера найдем характеристическое уравнение относительно ветви с индуктивностью, для удобства изменим схему на рисунке 2:

Рисунок 6 - Схема 6

Аналогично приведенному выше примеру найдем характеристическое уравнение определив сопротивление относительно точек C и D и приравняв это сопротивление нулю:

Это выражение также является характеристическим уравнением. Приведем это уравнение к виду удобному для нахождения его корней для начала для этого умножим числитель и знаменатель дроби на pC: 

Умножим обе части уравнения на знаменатель дроби:

Раскроем скобки:

Выполним последнее преобразование для приведения уравнения к виду удобному для нахождения его корней:

Это уравнение совпадает с уравнением полученным ранее (для схемы на рисунке 2) что подтверждает правильность решения.